题目内容

如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α所成的角为
π
4
，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB=3A'B'，则AB与平面β所成的角的正弦值是（　　）
A．
14
6
B．
5
5
C．
22
6
D．
3
3

连接AB‘，BA’，
∵平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α所成的角为
π
4
，
过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，
∴∠B′AB=
π
4
，AA′⊥β，BB′⊥α，∠ABA′是AB与平面β所成的角，
设A′B′=a，∵AB=3A'B'，∴AB=3a，
设AB′=BB′=x，则2x2=9a2，解得AB′=BB′=
3
2
2
a，
∴A′B=
9a2
2
+a2
=
22
2
a，AA′=
9a2-
11
2
a2
=
14
2
a，
∴sin∠ABA′=
14
2
a
3a
=
14
6
．
故选A．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，平面∥平面，点A∈，C∈，点B∈，D∈,点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.
（1）求证：EF∥;
（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，
求EF的长.
已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC，△ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影．求证：H不可能是△SBC的垂心．
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1、B1C1、C1D1的中点．
（1）求异面直线AG与BF所成角的余弦值；
（2）求证：AG∥平面BEF；
（3）试在棱BB1上找一点M，使DM⊥平面BEF，并证明你的结论．
P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，
AB
=（2，-1，-4），
AD
=（4，2，0），
AP
=（-1，2，-1）．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）对于向量
a
=（x1，y1z1），
b
=(x2y2z2)，
c
=(x3y3z3)，定义一种运算：(
a
×
b
)•
c
=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2z3-x3y2z1，试计算(
AB
×
AD
)-
AP
的绝对值；说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算(
AB
×
AD
)-
AP
的绝对值的几何意义．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=
3
，AD=2
2
，P为C1D1的中点，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求AD与平面AMP所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-AM-D的大小．
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°．
（1）求AC1的长；
（2）求异面直线AC1与A1B所成角的余弦值．
如图，ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=AA1=1，AB=2．
（1）求证：A1C1⊥平面BCC1B1；
（2）求平面A1BD与平面BCC1B1所成二面角的大小．
如图直角梯形OABC中，∠COA=∠AOB=90°，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，分别以OC，OA，OS为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz．
（Ⅰ）求
SC
与
OB
夹角的余弦值；
（Ⅱ）求OC与平面SBC夹角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角S-BC-O．

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