Question

18．若函数f（x）（x∈R）关于$（-\frac{3}{4}，0）$对称，且$f（x）=-f（x+\frac{3}{2}）$则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，
（2）f（x）是偶函数，（3）f（x） 关于$x=\frac{3}{2}$对称，（4）f（x）关于$（\frac{9}{4}，0）$对称，正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据已知中函数f（x）（x∈R）关于$（-\frac{3}{4}，0）$对称，且$f（x）=-f（x+\frac{3}{2}）$，分析出函数的周期性，对称性和奇偶性，可得答案．

解答 解：∵$f（x）=-f（x+\frac{3}{2}）$，
∴f（x+3）=$f[（x+\frac{3}{2}）+\frac{3}{2}]$=$-f（x+\frac{3}{2}）$=f（x），
故f（x）的最小正周期是3，故（1）正确；
又∵函数f（x）（x∈R）关于$（-\frac{3}{4}，0）$对称，
∴f（x）=-$f（-\frac{3}{2}-x）$=$f[（-\frac{3}{2}-x）+\frac{3}{2}]$=f（-x），
即f（x）是偶函数，故（2）正确；
又∵f（3-x）=f（-x）=f（x），
故f（x） 关于$x=\frac{3}{2}$对称，故（3）正确；
又∵函数f（x）（x∈R）关于$（-\frac{3}{4}，0）$对称，f（x）的最小正周期是3，
故f（x）关于$（\frac{9}{4}，0）$对称，故（4）正确；
故正确的命题有4个，
故选：D

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性和函数的周期性，其中熟练掌握函数对称性的法则“对称变换二倍减”，是解答的关键．