题目内容
13.已知n∈N*,设不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-ny≥0\\ y≤2\\ x≤2n\\ y≥0\end{array}\right.$所表示的平面区域为Dn,记Dn内整点的个数为an(横、纵坐标均为整数的点称为整点).(Ⅰ)通过研究a1,a2,a3的值的规律,求an的通项公式;
(Ⅱ)求证:$\frac{1}{{{a_1}^2}}+\frac{1}{{{a_2}^2}}+\frac{1}{{{a_3}^2}}+…+\frac{1}{{{a_n}^2}}<\frac{1}{12}$.
分析 (Ⅰ)画出当n=1,2,3时,平面区域为Dn,求出a1,a2,a3的值,归纳可得an的通项公式;
(Ⅱ)利用分析法,合理放缩式子,再由裂项相消法,可证得结论.
解答 解:∵不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-ny≥0\\ y≤2\\ x≤2n\\ y≥0\end{array}\right.$所表示的平面区域为Dn,
当n=1,2,3时,平面区域为Dn如下图所示:
则a1=1+2+3=6,
a2=1+3+5=9,
a3=1+4+7=12-------(3分)
即①y=2时的整点个数为1,y=2与x-ny=0的交点为2n,所以y=0的整点个数为2n+1
②y=1时的整点个数为n+1,y=1 x-ny=0的交点为n,所以y=0的整点个数为n+1
③y=0时的整点个数为2n+1
所以an=1+(n+1)+(2n+1)=3(n+1)-------------------------------------------------------------------------(6分)
(Ⅱ) 要证$\frac{1}{{{a_1}^2}}+\frac{1}{{{a_2}^2}}+\frac{1}{{{a_3}^2}}+…+\frac{1}{{{a_n}^2}}<\frac{1}{12}$,
即证:$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{{{{(n+1)}^2}}}<\frac{3}{4}$-------------(8分)
$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{{{{(n+1)}^2}}}<\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}$------------------------------(10分)
=$\frac{1}{4}+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\frac{3}{4}-\frac{1}{n+1}<\frac{3}{4}$-------------(12分)
点评 归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
A. | -2012 | B. | -2008 | C. | -2009 | D. | -2013 |
A. | (1,1.5) | B. | (1.5,2) | C. | (2,2.5) | D. | (2.5,3) |
A. | {x|1≤x<2} | B. | {x|0<x<1} | C. | {x|x≤0} | D. | {x|x<2} |
A. | $(0,\frac{4}{5})$ | B. | $(\frac{4}{5},+∞)$ | C. | $(\frac{4}{5},1)$ | D. | $(0,\frac{4}{5})$∪(1,+∞) |
A. | 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 | |
B. | 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补 | |
C. | 两条相交直线可以确定一个平面,两条平行直线可以确定一个平面 | |
D. | 底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥 |