Question

1．已知函数f（x）=lnx-mx+$\frac{1-m}{x}$（m∈R）
（Ⅰ）当m≤$\frac{1}{4}$时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2x+n，当m=$\frac{1}{12}$时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数n的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导函数，然后讨论m的范围，得到导函数的符号，得到函数的单调性；
（Ⅱ）根据（2）求出对任意x₁∈（0，2），f（x₁）≥f（1）=$\frac{5}{6}$，然后根据题意可知存在x₂∈[1，2]使g（x）=x²-2x+n≤$\frac{5}{6}$，解之即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-m+$\frac{m-1}{{x}^{2}}$=$\frac{-{mx}^{2}+x+m-1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=-mx²+x+m-1（x∈（0，+∞））
当m=0时，h（x）=x-1，令h（x）＞0，x＞1，h（x）＜0，0＜x＜1
∴f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数
当m≠0时，h（x）=-m（x-1）[x-（$\frac{1}{m}$-1）]，
当m＜0时，$\frac{1}{m}$-1＜0＜1，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数
0＜m≤$\frac{1}{4}$时，0＜1＜$\frac{1}{m}$-1，f（x）在（0，1），（$\frac{1}{m}$-1，+∞）上是减函数，f（x）在（1，$\frac{1}{m}$-1）上是增函数；
（Ⅱ）当m=$\frac{1}{12}$时，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，2）上是增函数
∴对任意x₁∈（0，2），f（x₁）≥f（1）=$\frac{5}{6}$，又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
所以g（x₂）≤$\frac{5}{6}$，x₂∈[1，2]，
即存在x₂∈[1，2]使g（x）=x²-2x+n≤$\frac{5}{6}$ 即n-1≤$\frac{5}{6}$，解得n≤$\frac{11}{6}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的思想，属于中档题．