Question

6．在如图所示的多面体PMBCA中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，PM∥BC，且BC=4，$AB=2\sqrt{5}$．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）若多面体PMBCA的体积为$2\sqrt{3}$，求PM的长．

Answer 1

分析 （1）先证明AC⊥BC，再利用平面PAC⊥平面ABC，证明BC⊥平面PAC，即可证明PA⊥BC；
（2）作AD⊥PC于点D，证明AD⊥平面BCPM，求出四边形BCPM的面积，再根据多面体PMBCA的体积求出PM 的长即可．

解答 （1）证明：∵AC=2，BC=4，$AB=2\sqrt{5}$，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面PAC，
∵PA?平面PAC，∴BC⊥PA． …6 分
（2）解：过点A作AD⊥PC垂足为D，设PM的长为x，
由（1）知，BC⊥平面 PAC，
∴BC⊥AD，∵BC∩PC=C，∴AD⊥平面BCPM，
∴AD为多面体PMBCA的高，且AD=$\sqrt{3}$?…8 分
又 PM∥BC，且BC=4，∴四边形BCPM是上下底分别为x，4，高为2的直角梯形，
∴多面体PMBCA的体积为$\frac{1}{3}×[{\frac{1}{2}（{x+4}）×2}]×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
解得x=2，即PM的长为 2．…12 分

点评 本题考查面面垂直的性质，线面平行的判定，考查多面体PMBCA的体积，正确运用面面垂直的性质是关键．