Question

18．设数列{a_n}满足${a_1}=2，{a_{n+1}}=a_n^2-n{a_n}+1，n∈{N^*}$．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）由（ 1）猜想a_n的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据已知中数列{a_n}满足${a_1}=2，{a_{n+1}}=a_n^2-n{a_n}+1，n∈{N^*}$．令n=1，2，3可得a₂，a₃，a₄；
（2）由（ 1）猜想a_n=n+1，利用数学归纳法可证得结论．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足${a_1}=2，{a_{n+1}}=a_n^2-n{a_n}+1，n∈{N^*}$．
∴${a}_{2}={a}_{1}^{2}-{a}_{1}+1$=3；
${a}_{3}={a}_{2}^{2}-2{a}_{2}+1$=4；
${a}_{4}={a}_{3}^{2}-3{a}_{3}+1$=5；
（2）由（ 1）猜想a_n=n+1，用数学归纳法证明如下：
当n=1时，左边=a₂=3，
右边=${a}_{1}^{2}-{a}_{1}+1$=2²-2+1=3，
满足条件；
假设n=k时，满足条件，则${a}_{k+1}={a}_{k}^{2}-k{a}_{k}+1$，
即k+2=（k+1）²-k（k+1）+1，
则n=k+1时，左边=（k+1）+2=k+3，
右边=（k+2）²-（k+1）（k+2）+1=k+2+1=k+3，满足条件，
综上a_n=n+1满足条件．

点评 本题考查的知识点是归纳推理，数学归纳法，数列通项公式的求解．