Question

1．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，△PAD是等边三角形，且$PB=\sqrt{6}$，M是棱PC上除P、C的任意一点，且$\frac{PM}{PC}=λ$
（1）当$λ=\frac{1}{3}$时，求证：平面BDM⊥平面ABCD
（2）平面BDM将四棱锥分成两部分，当$λ=\frac{1}{2}$，求两部分体积之比．

Answer 1

分析 （1）取AD中点为O，连结PO、BO、连BD与OC交于Q点，由题意知PO⊥AD，且$PO=\sqrt{3}$，再由已知可得$BO=\sqrt{3}$，在△POB中，利用勾股定理可得PO⊥BO，由线面垂直的判断得PO⊥平面ABCD，连结MQ，再由平行线截线段成比例定理可得，$λ=\frac{1}{3}$时，$\frac{OQ}{QC}=\frac{PM}{MC}$，从而得到PO∥MQ，再由面面垂直的判定得答案；
（2）当$λ=\frac{1}{2}$时，M是PC的中点，P到平面ABCD距离是M到平面BDC的距离的2倍，结合S_ABCD=2S_△BCD，可得
V_P-ABCD=4V_M-BDC，由此得到两部分体积之比．

解答 （1）证明：设AD中点为O，连结PO、BO、连BD与OC交于Q点，则PO⊥AD，且$PO=\sqrt{3}$，
由已知，△ABD为等边三角形，∴$BO=\sqrt{3}$，在△POB中，
∵$PO=BO=\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{6}$，
∴PO²+BO²=PB²，
∴PO⊥BO，则PO⊥平面ABCD，连结MQ，
∵OD∥BC，∴△BQC∽△OQD，则$\frac{OQ}{QC}=\frac{OD}{BC}=\frac{1}{2}$，
当$λ=\frac{1}{3}$时，$\frac{PM}{MC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OQ}{QC}=\frac{PM}{MC}$，则PO∥MQ，
∴MQ⊥平面ABCD，又MQ?平面BDM，
∴平面BDM⊥平面ABCD；
（2）解：当$λ=\frac{1}{2}$时，M是PC的中点，P到平面ABCD距离是M到平面BDC的距离的2倍，
又S_ABCD=2S_△BCD，∴V_P-ABCD=4V_M-BDC，
则平面BDM将四棱锥分成的上下两部分体积为3：1．

点评 本题考查直线与平面平行的判断，考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．