题目内容
【题目】已知实数a、b满足a2+b2-ab=3.
(1)求a-b的取值范围;
(2)若ab>0,求证:.
【答案】(1)﹣2≤a﹣b≤2;(2)证明见解析.
【解析】
(1)由已知得a2+b2=3+ab≥2|ab|.
①当ab≥0时,3+ab≥2ab,解得ab≤3,即0≤ab≤3;
②当ab<0时,3+ab≥﹣2ab,解得 ab≥﹣1,即﹣1≤ab<0,
得0≤3﹣ab≤4,即0≤(a﹣b)2≤4,即﹣2≤a﹣b≤2;
(2)由(1)知0<ab≤3,可得,
利用配方法即可容易证明.
(1)因为a2+b2﹣ab=3,所以a2+b2=3+ab≥2|ab|.
①当ab≥0时,3+ab≥2ab,解得ab≤3,即0≤ab≤3;
②当ab<0时,3+ab≥﹣2ab,解得 ab≥﹣1,即﹣1≤ab<0,
所以﹣1≤ab≤3,则0≤3﹣ab≤4,
而(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab=3+ab﹣2ab=3﹣ab,
所以0≤(a﹣b)2≤4,即﹣2≤a﹣b≤2;
(2)由(1)知0<ab≤3,
因为
当且仅当ab=2时取等号,
所以.
练习册系列答案
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【题目】近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示,绘制相应的散点图,如图所示:
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
羊只数量(万只) | 1.4 | 0.9 | 0.75 | 0.6 | 0.3 |
草地植被指数 | 1.1 | 4.3 | 15.6 | 31.3 | 49.7 |
根据表及图得到以下判断:①羊只数量与草场植被指数成减函数关系;②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为,去掉第一年数据后得到的相关系数为,则;③可以利用回归直线方程,准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数;以上判断中正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3