题目内容
【题目】已知函数,其中
,
.
(1)若,
,且对任意的
,都有
,求实数
的取值范围;
(2)若,
,且
在
单调递增,求
的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)代入,
可求得
的解析式.代入不等式化简,将不等式化简为关于
的二次函数形式,结合
即可求得
的取值范围.
(2)解法1:根据条件可求得函数
的对称轴,且由
可得
的表达式.再根据
在
单调递增,可得关于
的不等式组,解不等式组即可求得
的最大值.
解法2:根据在
单调递增可先求得
的取值范围,结合
可得函数
的对称轴, 且由
可得
的表达式.根据
可求得
的值,再求得于
的值,即可得
的解析式.进而求得满足
在
单调递增时
的最大值.
(1)∵,
∴
∴,即
∵
∴
∴当时,
∴
(2)解法1:∵
∴为
图像的对称轴
又
∴
两式相减得
∴
∵在
单调递增,令
∴在
单调递增
∴,则
,
①+②得
∴
∵
∴当时
取到最大值为
解法2:在
单调递增
∴
∴
∵
∴为
图像的对称轴
又
∴
两式相加得
∵
∴或
①当时,
,得
,
②当时
,得
,
当,
时
时,
则满足条件在
单调递增,所以
的最大值为
.
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