题目内容
【题目】对于定义在上的函数
,如果对于任意的
,存在常数
都有
成立,则称
为函数
在
上的一个上界.已知函数
.
(1)当时,试判断函数
在
上是否存在上界,若存在请求出该上界,若不存在请说明理由;
(2)若函数在
上的上界为3,求出实数
的取值范围.
【答案】(1)函数在
上不存在上界,详见解析;(2)[-3,3]
【解析】
(1)当时,
+
,由此可求出函数
的单调性和值域,从而得到结论;
(2)由题意知,|在
上恒成立,将不等式进行变形可得,
,化简整理得,
,则
,设
,则
=
,
=
,分别求出
在
上的最大值和
在
上的最小值即可得到结果.
(1)当时,
+
,
因为在
上递减,所以
,
即在
的值域为
,故不存在常数
>0,使|
成立,
所以函数在
上不存在上界;
(2)由题意知,|在
上恒成立.
,
,
所以在
上恒成立,
所以,
设,则
=
,
=
,由
得
,
设1,
-
=
,
-
=
,
所以在
上递减,
在
上的最大值为
=-3,
而在
上递增,
在
上的最小值为
=3,
所以实数的取值范围为[-3,3].
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