题目内容
3．
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆交于P、Q，O为坐标原点，若∠POQ=90°，求证$\frac{1}{|PQ{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$为定值．
分析 （Ⅰ）由已知求得椭圆长半轴长，结合离心率求得半焦距，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线OP的方程y=kx，和椭圆联立求出P的坐标，得到|OP|2，再由OP⊥OQ写出OQ方程，和椭圆联立求出Q坐标，得到|OQ|2，代入$\frac{1}{|PQ{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$后整理可得其为定值．
解答 （Ⅰ）解：由题意可得：2a=4，a=2，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，则$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=1$，
∴椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），
若k存在，设直线OP的方程为l1：y=kx，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，得${{x}_{1}}^{2}=\frac{4}{1+4{k}^{2}}，{{y}_{1}}^{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
即$|OP{|}^{2}={{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，
∵∠PAQ=90°，以$-\frac{1}{k}$代换上式的k得，$|OQ{|}^{2}=\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{|PQ{|}^{2}}+\frac{1}{|OQ{|}^{2}}=\frac{1+4{k}^{2}}{4（1+{k}^{2}）}+\frac{4+{k}^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$=$\frac{5（1+{k}^{2}）}{4（1+{k}^{2}）}=\frac{5}{4}$．
若k不存在，即P、Q分别是椭圆长、短轴的顶点，|OP|2=4，|OQ|2=1．
则$\frac{1}{|PQ{|}^{2}}+\frac{1}{|OQ{|}^{2}}=\frac{5}{4}$．
综上：$\frac{1}{|PQ{|}^{2}}+\frac{1}{|OQ{|}^{2}}=\frac{5}{4}$．
点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了两点间的距离公式，是中档题．
教材全解字词句篇系列答案
扇形AOB的半径为1，圆心角为90°，点C、D、E将弧AB分成四等分，连结OC、OD、OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰好为$\frac{π}{8}$的概率是（ ）| A． | $\frac{3}{10}$ | B． | $\frac{1}{5}$ | C． | $\frac{2}{5}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．