已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2.直线l:y=kx+m与椭圆交与不同的两点A.B(1)求椭圆C的方程(2)若线段AB中点的横坐标为$\frac{m}{2}$.求k的值(3)若以弦AB为直径的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2，直线l：y=kx+m（m≠0）与椭圆交与不同的两点A，B
（1）求椭圆C的方程
（2）若线段AB中点的横坐标为$\frac{m}{2}$，求k的值
（3）若以弦AB为直径的圆经过椭圆的右顶点M，则直线l是否经过定点（除右顶点外）？若经过，求出定点坐标，否则，请说明理由．

分析（1）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式及a，b，c的关系，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可得到k；
（3）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和圆的性质，以及垂直的条件，化简整理，结合直线恒过定点的求法，即可得到定点．

解答解：（1）由题意可得，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又bc=2，
a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）将y=kx+m代入椭圆方程可得，（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，
由中点坐标公式可得$\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{m}{2}$，
解得k=-1±$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）由（2）可得△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0
整理得：4k²-m²+2＞0 ①
x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
由已知，AM⊥MB，且椭圆的右顶点为M（2，0）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
也即（1+k²）•$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$+（km-2）•$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$+m²+4=0，
整理得：3m²+8mk+4k²=0，
解得：m=-2k或m=-$\frac{2}{3}$k，均满足①
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），舍去．
当m=-$\frac{2}{3}$k时，直线l的方程为y=k（x-$\frac{2}{3}$），过定点（$\frac{2}{3}$，0），
故直线l过定点，且定点的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）．