题目内容

17.数列{an}满足a1=1,an+1$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$=1,记Sn=a12+a22+…+an2,若S2n+1-Sn≤$\frac{m}{30}$对任意n∈N*恒成立,则正整数m的最小值是10.

分析 数列{an}满足a1=1,an+1$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$=1,可得$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4,利用等差数列的通项公式可得${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4n-3}$.
作差(S2n+1-Sn)-(S2n+3-Sn+1)=(Sn+1-Sn)-(S2n+3-S2n+1)=${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{2n+2}^{2}$-${a}_{2n+3}^{2}$=$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{8n+5}$-$\frac{1}{8n+9}$,即可得出数列{S2n+1-Sn}单调性,进而得出.

解答 解:∵数列{an}满足a1=1,an+1$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$=1,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4,
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}\}$是等差数列,首项为1,公差为4.
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}=1+4(n-1)=4n-3$.
∴${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4n-3}$.
∵Sn=a12+a22+…+an2
∴(S2n+1-Sn)-(S2n+3-Sn+1)=(Sn+1-Sn)-(S2n+3-S2n+1
=${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{2n+2}^{2}$-${a}_{2n+3}^{2}$=$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{8n+5}$-$\frac{1}{8n+9}$=$(\frac{1}{8n+2}-\frac{1}{8n+5})$+$(\frac{1}{8n+2}-\frac{1}{8n+9})$>0,
∴数列{S2n+1-Sn}是单调递减数列,
∴数列{S2n+1-Sn}的最大项是S3-S1=${a}_{2}^{2}+{a}_{3}^{2}$=$\frac{1}{5}+\frac{1}{9}$=$\frac{14}{45}$.
∵$\frac{14}{45}$≤$\frac{m}{30}$,∴$m≥\frac{28}{3}$.
又m为正整数,
∴m的最小值为10.
故答案为:10.

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性,恒成立问题的等价转化方法,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题.

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