题目内容
设函数f(x)=lnx,有以下4个命题:
①对任意的x1、x2∈(0,+∞),有f(
)≤
;
②对任意的x1、x2∈(1,+∞),有f(x1)-f(x2)<x2-x1;
③对任意的x1、x2∈(e,+∞),有x1f(x2)<x2f(x1);
④对任意的0<x1<x2,总有x0∈(x1,x2),使得f(x0)≤
.其中正确的是______(填写序号).
①对任意的x1、x2∈(0,+∞),有f(
x1+x2 |
2 |
f(x1)+f(x2) |
2 |
②对任意的x1、x2∈(1,+∞),有f(x1)-f(x2)<x2-x1;
③对任意的x1、x2∈(e,+∞),有x1f(x2)<x2f(x1);
④对任意的0<x1<x2,总有x0∈(x1,x2),使得f(x0)≤
f(x1)-f(x2) |
x1-x2 |
∵f(x)=lnx是(0,+∞)上的增函数,
∴对于①由f(
)=ln
,
=ln
,∵
>
故f(
)>
故①错误.
对于②③,不妨设x1<x2则有f(x1)<f(x2),
故由增函数的定义得f(x1)-f(x2)<x2-x1 故②正确,
由不等式的性质得x1f(x1)<x2f(x2),故③错误;
对于④令1=x1<x2=e2,x0=e得,f(x0)>
,故④错误.
故答案为②.
∴对于①由f(
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
f(x1)+f(x2) |
2 |
x1x2 |
x1+x2 |
2 |
x1x2 |
故f(
x1+x2 |
2 |
f(x1)+f(x2) |
2 |
对于②③,不妨设x1<x2则有f(x1)<f(x2),
故由增函数的定义得f(x1)-f(x2)<x2-x1 故②正确,
由不等式的性质得x1f(x1)<x2f(x2),故③错误;
对于④令1=x1<x2=e2,x0=e得,f(x0)>
f(x1)-f(x2) |
x1-x2 |
故答案为②.

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