题目内容
已知函数f(x)=
,下列命题正确的是______.(写出所有正确命题的序号)
①f(x)是奇函数
②对定义域内任意x,f(x)<1恒成立;
③当x=
π时,f(x)取得极小值;
④f(2)>f(3)
⑤当x>0时,若方程|f(x)|=k有且仅有两个不同的实数解α,β(α>β)则β•cosα=-α•sinβ
sinx |
x |
①f(x)是奇函数
②对定义域内任意x,f(x)<1恒成立;
③当x=
3 |
2 |
④f(2)>f(3)
⑤当x>0时,若方程|f(x)|=k有且仅有两个不同的实数解α,β(α>β)则β•cosα=-α•sinβ
①函数的定义域是{x|x≠0,x∈R},f(-x)=
=
=f(x),∴f(x)是偶函数,故①错误;
②∵根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|,∴
≤1,∵x≠0,∴
<1成立,故②正确;
③∵f′(x)=
,∵f′(
)=
≠0,∴x=
不是极值点,∴③错误;
④∵
<2<3<π,∴sin2>sin3>0,∴
>
,∴④正确;
⑤
因为|
|=k(x>0)有且仅有两个不同的根α,β,所以,k>0
因为x>0时,y=sinx为周期函数,y=x为增函数
所以,f(x)在(0,π)的最大值>f(x)在(π,2π)的最大值>f(x)在(2π,3π)的最大值>…
因为,α>β
所以,α必为y=f(x)在(π,2π)取最大值时x的值,
π<x<2π时,f(x)=|
|=-
f'(x)=
,令f'(x)=0,
则αcosα-sinα=0,即cosα=
,
所以,f(α)=-
=-cosα=k
α,β为方程f(x)=k在(0,π)的根
所以,
=k
所以,
=-cosα
即:βcosα=-sinβ,故⑤错误
故答案为:②④
sin(-x) |
-x |
sinx |
x |
②∵根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|,∴
|sinx| |
|x| |
sinx |
x |
③∵f′(x)=
xcosx-sinx |
x2 |
3π |
2 |
4 |
9π2 |
3π |
2 |
④∵
π |
2 |
sin2 |
2 |
sin3 |
3 |
⑤

因为|
sinx |
x |
因为x>0时,y=sinx为周期函数,y=x为增函数
所以,f(x)在(0,π)的最大值>f(x)在(π,2π)的最大值>f(x)在(2π,3π)的最大值>…
因为,α>β
所以,α必为y=f(x)在(π,2π)取最大值时x的值,
π<x<2π时,f(x)=|
sinx |
x |
sinx |
x |
f'(x)=
-xcosx+sinx |
x2 |
则αcosα-sinα=0,即cosα=
sinα |
α |
所以,f(α)=-
sinα |
α |
α,β为方程f(x)=k在(0,π)的根
所以,
sinβ |
β |
所以,
sinβ |
β |
即:βcosα=-sinβ,故⑤错误
故答案为:②④

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