题目内容

已知函数f(x)=
sinx
x
,下列命题正确的是______.(写出所有正确命题的序号)
①f(x)是奇函数
②对定义域内任意x,f(x)<1恒成立;
③当x=
3
2
π
时,f(x)取得极小值;
④f(2)>f(3)
⑤当x>0时,若方程|f(x)|=k有且仅有两个不同的实数解α,β(α>β)则β•cosα=-α•sinβ
①函数的定义域是{x|x≠0,x∈R},f(-x)=
sin(-x)
-x
=
sinx
x
=f(x),∴f(x)是偶函数,故①错误;
②∵根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|,∴
|sinx|
|x|
≤1,∵x≠0,∴
sinx
x
<1成立,故②正确;
③∵f′(x)=
xcosx-sinx
x2
,∵f′(
2
)=
4
2
≠0,∴x=
2
不是极值点,∴③错误;
④∵
π
2
<2<3<π,∴sin2>sin3>0,∴
sin2
2
sin3
3
,∴④正确;

因为|
sinx
x
|=k(x>0)有且仅有两个不同的根α,β,所以,k>0
因为x>0时,y=sinx为周期函数,y=x为增函数
所以,f(x)在(0,π)的最大值>f(x)在(π,2π)的最大值>f(x)在(2π,3π)的最大值>…
因为,α>β
所以,α必为y=f(x)在(π,2π)取最大值时x的值,
π<x<2π时,f(x)=|
sinx
x
|=-
sinx
x

f'(x)=
-xcosx+sinx
x2
,令f'(x)=0,
则αcosα-sinα=0,即cosα=
sinα
α

所以,f(α)=-
sinα
α
=-cosα=k
α,β为方程f(x)=k在(0,π)的根
所以,
sinβ
β
=k
所以,
sinβ
β
=-cosα
即:βcosα=-sinβ,故⑤错误
故答案为:②④
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