题目内容

设f（x）是定于在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，则关于函数f（x）有：
（1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）对任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0；
（4）当x∈（0，1），函数y=
f(x)
x
+x为减函数．
上述四个命题中正确的有______．
因为对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0，
所以令x1=x，x2=1-x，则
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
≥2
f(x)
f(1-x)
?
f(1-x)
f(x)
=2，
由②知
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
≤2，所以必有
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
=2，当且仅当
f(x)
f(1-x)
=
f(1-x)
f(x)
=1，即f（x）=f（1-x）时取等号，所以（1）错误，（2）正确．
（3）将②中的变量x1，x2，交换位置得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤2，③，将②③相加得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤4，
因为
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
≥2
f(x2)
f(x1)
?
f(x1)
f(x2)
=2，
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥2
f(1-x2)
f(1-x1)
?
f(1-x1)
f(1-x2)
=2，
所以
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥4，所以
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
=4，
当且仅当，
f(x2)
f(x1)
=
f(x1)
f(x2)
=1，
f(1-x2)
f(1-x1)
=
f(1-x1)
f(1-x2)
=1，取等号，所以f（x1）=f（x2），即对任意的变量x1，x2，都有所以f（x1）=f（x2），
所以f（x）为常数，所以f'（x）=0，所以（3）成立．
（4）因为f（x）为常数，所以设f（x）=c＞0，
所以y=
f(x)
x
+x=
c
x
+x，函数的导数为y'=1-
c
x2
，当x＞0时，由y'＜0得，0＜x＜
c
，所以函数在（0，
c
）上单调递减，所以当c＜1时，函数y=
f(x)
x
+x为减函数不一定正确．
故正确的是（2）（3）．
练习册系列答案
相关题目
给定下列四个命题：
①“若a＞1且b＞1，则a+b＞2”的否命题为真命题；
②命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件；
③若loga
2
3
＜1，则a的取值范围为a＞1或0＜a＜
2
3
；
④若实数x，y∈[-1，1]，则满足x2+y2≥1的概率为
π
4

其中为假命题的是______（填上所有正确命题的序号）．
给出下列结论：
①与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在一个椭圆上．
②若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，则k∈(1，
5
2
)．
③经过椭圆
x2
2
+y2=1的右焦点F作倾斜角为600的直线l交椭圆于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则
AF
=
9+3
2
7
FB
．
④抛物线y2=2x上的点P到直线y=x+4的距离的最小值为
7
2
4
．
其中正确结论的序号是______．
关于函数f（x）=|x|x+bx+c，给出下列四个命题：其中正确的命题序号为______．
①b=0，c＞0时，f（x）=0只有一个实数根；
②c=0时，f（x）是奇函数；
③y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；
④函数f（x）至多有两个零点．
（1）16的四次方根是±2；
（2）集合A={x|y=
x
}，B={y|y=2x2-1，x∈R}则A∩B=B；
（3）若|log3a|=|log3b|，且a≠b，a＞0，b＞0则ab=1；
（4）若函数f（x+1）是偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称；
其中正确的序号是______$\end{array}$．
原命题为：“若m，n都是奇数，则m+n是偶数”，其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，其中真命题的个数是（　　）
A．0B．1C．2D．4
直线m、n和平面a、β．下列四个命题中，
①若m∥a，n∥a，则m∥n；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α⊥β，m?α，则m⊥β；
④若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α，
其中正确命题的个数是（　　）
A．0B．1C．2D．3
下列判断错误的是（　　）
A．a，b，m为实数，则“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件
B．命题“对任意x∈R，x3-x2-1≤0”的否定是“存在x∈R，x3-x2-1＞0”
C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
设函数f（x）=lnx，有以下4个命题：
①对任意的x1、x2∈（0，+∞），有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
；
②对任意的x1、x2∈（1，+∞），有f（x1）-f（x2）＜x2-x1；
③对任意的x1、x2∈（e，+∞），有x1f（x2）＜x2f（x1）；
④对任意的0＜x1＜x2，总有x0∈（x1，x2），使得f(x0)≤
f(x1)-f(x2)
x1-x2
．其中正确的是______（填写序号）．

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