Question

等比数列{c_n}满足c_n＋1＋c_n＝10·4^n－1(n∈N^*)，数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n＝log₂c_n.
(1)求a_n，S_n；
(2)数列{b_n}满足b_n＝，T_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在正整数m(m>1)，使得T₁，T_m，T_6m成等比数列？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）a_n＝2n－1，S_n＝n².（2）存在正整数m＝2，使得T₁，T_m，T_6m成等比数列．

(1)因为c₁＋c₂＝10，c₂＋c₃＝40，所以公比q＝4，
由c₁＋4c₁＝10，得c₁＝2，c_n＝2·4^n－1＝2^2n－1，
所以a_n＝log₂2^2n－1＝2n－1.
S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝log₂c₁＋log₂c₂＋…＋log₂c_n＝log₂(c₁·c₂·…·c_n)＝log₂(2¹·2³·…·2^2n－1)＝log₂2^{(1＋3＋…＋2n－1)}＝n².
(2)由(1)知b_n＝，
于是T_n＝.
假设存在正整数m(m>1)，使得T₁，T_m，T_6m成等比数列，则
，整理得4m²－7m－2＝0，
解得m＝－或m＝2.
由m∈N^*，m>1，得m＝2.
因此存在正整数m＝2，使得T₁，T_m，T_6m成等比数列．