题目内容
【题目】设
， 
.
（1）若
，证明： 
时， 
成立；
（2）讨论函数
的单调性；
【答案】（1）见解析;
（2）
， 
在
上单调递增，在
上单调递减.
， 
在
， 
上单调递增，在
上单调递减.
， 
在
上单调递增；
， 
在
， 
上单调递增，在
上单调递减.
【解析】试题分析：（1）证明不等式问题，一般转化为求对应函数最值问题：即
的最大值小于零，利用导数先研究函数
的单调性，再得最大值，最后证明最大值小于零.（2）先求函数导数，根据导函数在定义域上解的情况分类讨论，一般分为一次与二次，根有与无，两根大与小，最后进行小结.
试题解析：（1）当
时， 
，要证
时
成立，由于
，
只需证
在
时恒成立，
令
，则
，
设
， 
， 
，
在
上单调递增， 
，即
，
在
上单调递增， 
，
当
时， 
恒成立，即原命题得证.
（2）
的定义域为
， 
，
①当
时， 
解得
或
； 
解得
，
所以函数
在
， 
上单调递增，在
上单调递减；
②当
时， 
对
恒成立，所以函数
在
上单调递增；
③当
时， 
解得
或
； 
解得
，
所以函数
在
， 
上单调递增，在
上单调递减；
④当
时， 
， 
在
上单调递增，在
上单调递减.
⑤当
， 
， 
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上， 
， 
在
上单调递增，在
上单调递减.
， 
在
， 
上单调递增，在
上单调递减.
， 
在
上单调递增；
， 
在
， 
上单调递增，在
上单调递减.
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