题目内容
【题目】（A）设函数
， 
.
（1）证明：函数
在
上为增函数；
（2）若方程
有且只有两个不同的实数根，求实数
的值.
（B）已知函数
.
（1）求函数
的最小值；
（2）若存在唯一实数
，使得
成立，求实数
的值.
【答案】（A）（1）详见解析; （2）
.（B）（1）
;（2）
.
【解析】试题分析：（A）（1）计算函数的导数并因式分解，证明因式分解后每个因子都是正数，由此判断原函数在
上为增函数.（2）利用导数求得函数
的单调区间，求得函数的极大值和极小值，要使
有两个不同的实数根，则需极大值等于
，由此列方程可求得
的值.（B）（1）利用导数求得函数
的单调区间和极值，比较两个极值点的函数值，由此判断出
是函数的最小值.（2）注意到方程
的判别式大于零，有两个不同的实数根，若存在唯一实数
，使得
成立，由（1）得
，即
，解得
.
试题解析：
（A）证明：（1）
的定义域为
， 
，
当
时，由
， 
，得
，所以
，则有函数
在
上为增函数.
（2）令
，得
或
.
列表如下：
|
|
|
| 0 |
|
| 正 | 0 | 负 | 0 | 正 |
| 增函数 | 极大值 | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
则当
时，函数有极大值
，
当
时，函数有极小值
，
又
时， 
， 
时， 
， 
时， 
，
因为方程
，即
有且只有两个不同的实数根，
所以
，解得
（负根舍去）.
（B）（1）
的定义域为
， 
，
令
，得
或
，
列表如下：
|
|
|
| 1 |
|
| 正 | 0 | 负 | 0 | 正 |
| 增函数 | 极大值 | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
则函数
在
， 
上为增函数，在
上为减函数；
当
时， 
，所以当
时， 
，又
，
所以
时，函数
有最小值
.
（2）对于
，有
，则函数
有两个不同的零点，
若存在唯一实数
，使得
成立，由（1）得
，即
，解得
.
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【题目】《中国好声音（
）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：
导师转身人数（人） | 4 | 3 | 2 | 1 |
获得相应导师转身的选手人数（人） | 1 | 2 | 2 | 1 |
现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.
（1）求选出的两人导师为其转身的人数和为4的概率；
（2）记选出的2人导师为其转身的人数之和为
，求
的分布列及数学期望
.
