题目内容
【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=120°,AC=AB=2,AA1=3.
(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
(2)若M是棱BC的一个靠近点C的三等分点,求二面角A-A1M-B的余弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根据正弦定理求底面的面积,再由棱柱的体积公式求得体积,即可;(2)先根据题干条件得到以及图形特点得到AM⊥平面ABB1A1再建立坐标系,求得二面角的余弦值即可.
(1)因为∠BAC=120°,AC=AB=2,
所以.
所以.
(2)在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2×AC×AB×cos∠BAC
,
所以.
因为M是棱BC的一个靠近点C的三等分点,
所以.
因为∠BAC=120°,AC=AB=2,
所以∠ACB=∠ABC=30°.
由余弦定理,得AM2=AC2+CM2-2×AC×CM×cos∠ACB
,
所以.
所以CM=AM,
所以∠ACM=∠CAM=30°,
所以∠MAB=∠CAB-∠CAM=120°-30°=90°,即AM⊥AB.
易知AA1⊥平面ABC,AM平面ABC,
所以AA1⊥AM.
又因为AB∩AA1=A,所以AM⊥平面ABB1A1.
以A为原点,AM,AB,AA1分别为x,y,z轴,建立如下图所示的空间直角坐标系:
则点A(0,0,0),M(,0,0),A1(0,0,3),B(0,2,0),
所以,
.
设平面A1BM的法向量为m=(x0,y0,z0),则
令z0=2,得m=(,3,2),易得平面AA1M的一个法向量为n=(0,1,0).
设二面角A-A1M-B的平面角为θ,由题意,得θ为锐角,则.
所以二面角A-A1M-B的余弦值为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2020年2月,全国掀起了“停课不停学”的热潮,各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度,研究人员随机调查了相同数量的男、女学生,发现有的男生喜欢网络课程,有
的女生不喜欢网络课程,且有
的把握但没有
的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关,则被调查的男、女学生总数量可能为( )
附:,其中
.
k |
A.130B.190C.240D.250
【题目】019年底,湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者,为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析,某地研究机构针对该地实际情况,根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史,将新冠肺炎患者分为四类:有武汉旅行史(无接触史),无武汉旅行史(无接触史),有武汉旅行史(有接触史)和无武汉旅行史(有接触史),统计得到以下相关数据:
(1)请将列联表填写完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系?
有接触史 | 无接触史 | 总计 | |
有武汉旅行史 | 4 | ||
无武汉旅行史 | 10 | ||
总计 | 25 | 45 |
(2)已知在无武汉旅行史的10名患者中,有2名无症状感染者.现在从无武汉旅行史的10名患者中,选出2名进行病例研究,记选出无症状感染者的人数为,求
的分布列以及数学期望.
下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中
.