Question

【题目】已知函数f（x）＝|x＋1|．

（1）若不等式f（x）≥|2x＋1|1的解集为A，且，求实数t的取值范围；

（2）在（1）的条件下，若，证明：f（ab）＞f（a）f（b）．

Answer 1

【答案】（1）（，2] （2）详见解析

【解析】

（1）零点分区间去掉绝对值，得到解集为{x|－1≤x≤1}，由集合间的包含关系得到－1≤1－t＜t－2≤1，解得;(2)原式等价于|ab＋1|＞|a＋b|，即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，两边展开，提公因式即可得证.

（1）不等式f（x）≥|2x＋1|－1，即|x＋1|－|2x＋1|＋1≥0．

当x＜－1时，不等式可化为－x－1＋（2x＋1）＋1≥0，解得x≥－1，这时原不等式无解；

当，不等式可化为x＋1＋（2x＋1）＋1≥0，解得x≥－1，这时不等式的解为；

当时，不等式可化为x＋1－（2x＋1）＋1≥0，解得x≤1，这时不等式的解为．

所以不等式f（x）≥|2x＋1|－1的解集为{x|－1≤x≤1}．

因为[1－t，t－2]A，

所以－1≤1－t＜t－2≤1，解得．

即实数t的取值范围是（，2]．

（2）证明：因为f（a）－f（b）＝|a＋1|－|－b＋1|≤a＋1－（－b＋1）＝|a＋b|，

所以要证f（ab）＞f（a）－f（－b）成立，

只需证|ab＋1|＞|a＋b|，即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，

也就是证明a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2成立，

即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证（a2－1）（b2－1）＞0．

因为A＝{x|－1≤x≤1}，，

所以|a|＞1，|b|＞1，a2＞1，b2＞1．

所以（a2－1）（b2－1）＞0成立．

从而对于任意的，都有f（ab）＞f（a）－f（－b）成立．