Question

17．已知函数f（x）=$\frac{3x}{a}$-2x²+lnx（a∈R且a≠0）
（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（2）讨论函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增或递减函数，即f′（x）≥（≤）0在区间[1，2]上恒成立，然后用分离参数求最值即可．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=x-2x²+lnx的导数为f′（x）=1-4x+$\frac{1}{x}$，
在点（1，f（1））处的切线斜率为k=1-4+1=-2，
切点为（1，-1），
即有在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=-2（x-1），即为2x+y-1=0；
（2）f′（x）=$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$，
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调增函数，
则x∈[1，2]时，f′（x）≥0恒成立．
即 $\frac{3}{a}$≥4x-$\frac{1}{x}$在[1，2]恒成立，
令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，因函数h（x）在[1，2]上单调递增，
所以$\frac{3}{a}$≥h（2），即$\frac{3}{a}$≥$\frac{15}{2}$，
解得0＜a≤$\frac{2}{5}$①
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调减函数，
则x∈[1，2]时，f′（x）≤0恒成立．
即 $\frac{3}{a}$≤4x-$\frac{1}{x}$在[1，2]恒成立，
令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，因函数h（x）在[1，2]上单调递增，
所以$\frac{3}{a}$≤h（1），即$\frac{3}{a}$≤3，
解得a≥1或a＜0．②
综上可得实数a的取值范围是a≥1或a≤$\frac{2}{5}$且a≠0．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，注意运用恒成立思想，综合性较强．