题目内容
8.在△ABC中,b=5,∠B=$\frac{π}{4}$,tanA=2,求边c.分析 由tanA的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,再由b与sinB的值,利用正弦定理即可求出a的值,根据tanC=-tan(A+B)可求sinC,利用正弦定理即可得解.
解答 解:∵tanA=2,
∴cos2A=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}A}$=$\frac{1}{5}$,
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,又b=5,sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得:a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{5×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{10}$.
∵∠B=$\frac{π}{4}$,tanB=1,
∴tanC=-tan(A+B)=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{2+1}{1-2×1}$=3,
∴cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,sinC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$,
∴c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{5×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{5}$.
点评 此题考查了正弦定理,同角三角函数间的基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键,属于中档题.
练习册系列答案
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18.已知sin(α+$\frac{π}{6}$)+cosα=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$,则sin(α+$\frac{π}{3}$)的值为( )
A. | $\frac{4}{5}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{5}$ |
19.在△ABC中,若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{cosB}$,则△ABC是( )
A. | 等腰三角形 | B. | 直角三角形 | ||
C. | 等腰或直角三角形 | D. | 等腰直角三角形 |
13.在△ABC中,已知a-b=c(cosB-cosA),则△ABC的形状是( )
A. | 等腰三角形 | B. | 直角三角形 | ||
C. | 等边三角形 | D. | 等腰或直角三角形 |