Question

【题目】如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri (A)为A的第i行各数之积，cj (A)为A的第j列各数之积．令

a11	a12	…	a1n
a21	a22		a2n
…	…	…	…
an1	an2	…	ann

（Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0；

（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；

（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）可取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；

（Ⅱ）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；

（Ⅲ）通过分析正确得出l(A)的表达式，以及从A0如何得到A1，A2……，以此类推可得到Ak．

（Ⅰ）答案不唯一，如图所示数表符合要求.

（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，证明如下:

假如存在，使得.

因为，，

所以，，...，，，，...，这18个数中有9个1，9个-1.

令.

一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而①，

另一方面，表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；

也表示m，从而②，

①，②相矛盾，从而不存在，使得.

（Ⅲ）记这个实数之积为p.

一方面，从“行”的角度看，有；

另一方面，从“列”的角度看，有；

从而有③，

注意到，，

下面考虑，，...，，，，...，中-1的个数，

由③知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为，则1的个数为2n-2k，

所以，

对数表，显然.

将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，

将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，

依此类推，将数表中的由1变为-1，得到数表，

即数表满足：，其余，

所以，，

所以，

由k的任意性知，l（A）的取值集合为.