Question

19．已知函数f（x）=-x²-ax+3在区间（-∞，-1]上是增函数．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：f（x）在区间（-∞，-$\frac{a}{2}$）上为增函数．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）=-x²-ax+3在区间（-∞，-1]上是增函数，则-$\frac{a}{2}$≥-1，解得a的取值范围；
（2）根据已知中函数解析式，求出函数的导函数，进而可得f（x）在区间（-∞，-$\frac{a}{2}$）上的单调性．

解答 解：（1）函数f（x）=-x²-ax+3的图象是开口朝下，且以直线x=-$\frac{a}{2}$为对称轴的抛物线，
若函数f（x）=-x²-ax+3在区间（-∞，-1]上是增函数，
则-$\frac{a}{2}$≥-1，
解得：a≤2；
证明：（2）∵f（x）=-x²-ax+3，
∴f′（x）=-2x-a，
当x∈（-∞，-$\frac{a}{2}$）时，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在区间（-∞，-$\frac{a}{2}$）上为增函数．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．