Question

4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线上任意一点，过F₁作∠F₁PF₂的内角平分线l的垂线，设垂足为M，求点M的轨迹．

Answer 1

分析 点F₁关于∠F₁PF₂的角平分线PM的对称点M′在直线PF₂的延长线上，故|F₂M′|=|PF₁|-|PF₂|=2a，又OM是△F₂F₁M′的中位线，故|OM|=a，由此可以判断出点M的轨迹．

解答 解：点F₁关于∠F₁PF₂的角平分线PM的对称点M′在直线PF₂的延长线上，
故|F₂M′|=|PF₁|-|PF₂|=2a，
又OM是△F₂F₁M′的中位线，
故|OM|=a，
点M的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，点M的轨迹方程为x²+y²=a²．

点评 本小题主要考查轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，解答关键是应用角分线的性质解决问题．