题目内容
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如图，曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分．曲线C2是以原点O为顶点，F2为焦点的抛物线的一部分（y≥0），A是曲线C1和C2的交点．已知∠AF2F1为钝角且|AF1|=$\frac{7}{2}$，|AF2|=$\frac{5}{2}$．（1）求曲线C1和C2的方程；
（2）过椭圆C1的左焦点F1作直线l与椭圆交于D，E两点，是否存在定点Q使得∠DQF1=∠EQF1总成立．如果存在，请求出这样的点Q，若不存在，请说明理由．
分析 （1）设曲线C1的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则根据|AF1|=$\frac{7}{2}$，|AF2|=$\frac{5}{2}$，可得a=3，设A（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），则（x+c）2+y2=$\frac{49}{4}$，（x-c）2+y2=$\frac{25}{4}$，由此可求曲线C1和C2的方程；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在定点Q，使得无论DE怎样运动都有∠DQF1=∠EQF1总成立，再利用内角平分线定理，结合推理，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答 解：（I）设曲线C1的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则2a=|AF1|+|AF2|=$\frac{7}{2}$+$\frac{5}{2}$=6得a=3，
设A（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），
则（x+c）2+y2=$\frac{49}{4}$，（x-c）2+y2=$\frac{25}{4}$
两式相减可得：xc=$\frac{3}{2}$，
由抛物线定义可知|AF2|=x+c=$\frac{5}{2}$，
∴c=1，x=$\frac{3}{2}$或x=1，c=$\frac{3}{2}$（舍去）
所以曲线C1的方程为 $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（-3≤x≤$\frac{3}{2}$），
C2的方程为y2=4x（0≤x≤$\frac{3}{2}$）；
（2）假设在x轴上存在定点Q，使得QF1恰好为△DQE的内角平分线，
则由角平分线的性质定理得：$\frac{|D{F}_{1}|}{|E{F}_{1}|}$=$\frac{|DQ|}{|EQ|}$=$\frac{|D{F}_{1}|+|DQ|}{|E{F}_{1}|+|EQ|}$为定值．
又|DF1|+|DF2|=2a=6，|EF1|+|EF2|=2a=6，
∴$\frac{|D{F}_{1}|}{|E{F}_{1}|}$=$\frac{6-|D{F}_{1}|}{6-|E{F}_{1}|}$，
∴|DF1|=|EF1|，即F1为DE的中点，
∴DE⊥x轴，这与DE为过F1的任意弦矛盾，
∴假设不成立，即不存在定点Q，使得Q使得∠DQF1=∠EQF1总成立．
点评 本题考查了椭圆，抛物线方程的求法，考查存在性问题的解法，考查运算能力，属于中档题．
一个水平放置的圆柱形储油桶（如图所示），桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的$\frac{1}{4}$，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2π}$．（结果保留π）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=4，AB=1，BC=2，过A作AM⊥PC交PC于M．