Question

12．已知（5x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+1）⁵的展开式中，x²项的系数为2025．

Answer 1

分析 由条件利用二项式定理，分类讨论求得（5x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+1）⁵的展开式中，x²项的系数．

解答 解：（5x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+1）⁵的表示5个因式：（5x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+1）的乘积，在这5个因式中，
有1个因式选5x²，其余的4个因式都选1，相乘可得含x² 的项；
或者有2个因式选5x²，有1个因式选$\frac{1}{{x}^{2}}$，其余的2个因式都选1，相乘可得含x² 的项；
或者有3个因式选5x²，有2个因式选$\frac{1}{{x}^{2}}$，其余的1个因式选1，相乘可得含x² 的项．
故x²项的系数为${C}_{5}^{1}$×5×${C}_{4}^{4}$+${C}_{5}^{2}$×5²×${C}_{3}^{1}$×${C}_{2}^{2}$+${C}_{5}^{3}$×5³×${C}_{2}^{2}$=25+750+1250=2025，
故答案为：2025．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．