Question

2．数列x₁，x₂，…，x_n，…满足x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=${{x}_{n}}^{2}$+x_n（n∈N•），则$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{2013}+1}$的整数部分是2．

Answer 1

分析 由x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=${{x}_{n}}^{2}$+x_n（n∈N•），可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=x_n+1＞1，即数列{x_n}单调递增．又x₂=$\frac{4}{9}$，x₃=$\frac{52}{81}$，x₄＞1．当n≥4时，0＜$1-\frac{1}{{x}_{n}}$＜1．由于x_n+1=${{x}_{n}}^{2}$+x_n（n∈N•），可得$\frac{1}{{x}_{n+1}}=\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n}+1}$，即$\frac{1}{{x}_{n}+1}$=$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n+1}}$，利用“裂项求和”可得：$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{2013}+1}$，=3-$\frac{1}{{x}_{2014}}$，即可得出．

解答 解：由x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=${{x}_{n}}^{2}$+x_n（n∈N•），
∴$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=x_n+1＞1，
∴数列{x_n}单调递增，
可得x₂=$（\frac{1}{3}）^{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$，
x₃=$\frac{52}{81}$，x₄=$\frac{52}{81}×（\frac{52}{81}+1）$＞1．
∴当n≥4时，
∴0＜$1-\frac{1}{{x}_{n}}$＜1．
∵x_n+1=${{x}_{n}}^{2}$+x_n（n∈N•），
∴$\frac{1}{{x}_{n+1}}=\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{x}_{n}+1}$=$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{2013}+1}$
=$（\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}）$+$（\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{x}_{2013}}-\frac{1}{{x}_{2014}}）$
=$\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2014}}$
=3-$\frac{1}{{x}_{2014}}$
=2+$1-\frac{1}{{x}_{2014}}$的整数部分是2．
故答案为：2．

点评 本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．