Question

11．若对任意的x∈[0，1]，不等式1-ax≤$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$≤1-bx恒成立，则a的最小值为$\frac{1}{2}$，b的最大值为1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 分类讨论，并构造函数，f（x）=1-$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$，证明$\frac{1}{x}$f（x）在（0，1]为减函数，问题得以解决．

解答 解：对任意的x∈[0，1]，不等式1-ax≤$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$≤1-bx恒成立，
当x=0时，不等式显然成立，
设f（x）=1-$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$，
当x∈（0，1]时，等价于$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{1}{x}f（x）}\\{b≤\frac{1}{x}f（x）}\end{array}\right.$恒成立，
显然f（x）在（0，1]上为增函数，
∵$\frac{1}{x}$f（x）=$\frac{1}{x}$（1-$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$）=$\frac{1}{x}•\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}}$=$\frac{1}{x}$•$\frac{x}{\sqrt{x+1}（\sqrt{x+1}+1）}$=$\frac{1}{x+1+\sqrt{x+1}}$，
∴$\frac{1}{x}$f（x）在（0，1]为减函数，
∴1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{1}{x}$f（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，且b≤1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴a的最小值为$\frac{1}{2}$，b的最大值为1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查了恒成立的问题，关键是构造函数，判断函数的单调性，属于中档题．