已知函数y=x+$\frac{a}{x}$有如下性质.如果常数a＞0.那么该函数在上是减函数.在上的增函数．(1)试结合函数的性质直接画出函数y=x+$\frac{1}{x}$图象的简图,(2)如果函数y=x+$\frac{{2}^{b}}{x}$在(0.4]上是减函数.在[4.+∞)是增函数.求b的值,.求函数f(x)=x+$\frac{c}{x}$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知函数y=x+$\frac{a}{x}$有如下性质，如果常数a＞0，那么该函数在（0，$\sqrt{a}$）上是减函数，在（$\sqrt{a}$，+∞）上的增函数．
（1）试结合函数的性质直接画出函数y=x+$\frac{1}{x}$图象的简图（不必列表描点）；
（2）如果函数y=x+$\frac{{2}^{b}}{x}$（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）是增函数，求b的值；
（3）设常数c∈（1，4），求函数f（x）=x+$\frac{c}{x}$（1≤x≤2）的最大值和最小值．

分析（1）由题意可得y=x+$\frac{1}{x}$的单调性和特殊点，可作简图；
（2）由题意可得2^b=16，解方程可得；
（3）由单调性易得最小值，求出f（1）和f（2）作差，分类讨论可得．

解答解：（1）由题意可得y=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
又函数y=x+$\frac{1}{x}$为奇函数，故在（-1，0）上是减函数，在（-∞，-1）上是增函数，
且当x=1时y=2，当x=-1时，y=-2，可作简图如下：

（2）由题意可得2^b=16，解得b=4；
（3）由题意可得f（x）=x+$\frac{c}{x}$在（0，$\sqrt{c}$）上是减函数，在（$\sqrt{c}$，+∞）上是增函数，
∵c∈（1，4），∴$\sqrt{c}$∈（1，2），∴函数在（1，$\sqrt{c}$）上是减函数，在（$\sqrt{c}$，2）上是增函数，
∴当x=$\sqrt{c}$时，函数取最小值$\sqrt{c}$+$\frac{4}{\sqrt{c}}$，f（1）=c+1，f（2）=2+$\frac{c}{2}$，
当c+1-（2+$\frac{c}{2}$）=$\frac{c}{2}$-1＞0即2＜c＜4时，最大值为f（1）=c+1，
当1＜c≤2时，最大值为f（2）=2+$\frac{c}{2}$．

点评本题考查“对勾函数”的单调性，数形结合并利用已知题目的结论是解决问题的关键，属中档题．

练习册系列答案

	A．	平面α内任一向量$\overrightarrow{a}$，都有$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$（λ，μ∈R）
	B．	若存在实数λ₁，λ₂，使λ₁$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ₂$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0，则λ₁=λ₂=0
	C．	若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，则空间任一向量$\overrightarrow{a}$，都有$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$（λ，μ∈R）
	D．	若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，则平面任一向量$\overrightarrow{a}$，都有$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$（λ，μ∈R）