题目内容
已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=
,n∈N+.
(1)求b1,b2,b3的值.
(2)设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和,求证: Sn≥17n.
(3)求证:|b2n-bn|<
·
.
,n∈N+.(1)求b1,b2,b3的值.
(2)设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和,求证: Sn≥17n.
(3)求证:|b2n-bn|<
·.(1)
(2) (3)见解析
(2) (3)见解析(1)因为a1=1,a2=4,a3=4a2+a1=17,a4=72,所以b1=4,b2=
,b3=.
(2)由an+2=4an+1+an
得
=4+
,
即bn+1=4+
.
所以当n≥2时,bn>4,于是c1=b1b2=17,cn=bnbn+1=4bn+1>17(n≥2),
所以Sn=c1+c2+…+cn≥17n.
(3)当n=1时,结论|b2-b1|=
<
成立.
当n≥2时,有|bn+1-bn|=|4+-4-
|=
|
|≤
|bn-bn-1|≤
|bn-1-bn-2|≤…
≤
|b2-b1|=
.
所以|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|≤×[()n-1+()n+…+()2n-2]
=·
<·(n≥2).
因此|b2n-bn|<·(n∈N+).
,b3=.(2)由an+2=4an+1+an
得
=4+,即bn+1=4+
.所以当n≥2时,bn>4,于是c1=b1b2=17,cn=bnbn+1=4bn+1>17(n≥2),
所以Sn=c1+c2+…+cn≥17n.
(3)当n=1时,结论|b2-b1|=
<成立.当n≥2时,有|bn+1-bn|=|4+
-4-|=|
|≤|bn-bn-1|≤|bn-1-bn-2|≤…≤
|b2-b1|=.所以|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|≤
×[()n-1+()n+…+()2n-2]=
·<·(n≥2).因此|b2n-bn|<
·(n∈N+).
练习册系列答案
相关题目
+
+
+
≥
.
+
≥a+b.
≥a＋b；
(0<x<1)的最小值．
≥0的解集为________．
则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是_________.
、
，若
，则下列不等式中正确的是( )
