题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
,
,点
是线段
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)若,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)连接,交
于点
,利用中位线定理可证得
,从而得证;
(2)以为原点,
,
,
所在直线分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系,分别求两个面的法向量,利用向量夹角公式求解即可.
(1)连接,交
于点
,连接
,
,
因为棱柱的侧面是平行四边形,所以是
的中点.
又因为是
中点,所以
是
的中位线.
所以.
又因为平面
,
平面
.
所以平面
.
(2)连接,
,
.
因为,
.
故,
都为等边三角形.
因为是
中点,所以
,
,
因为,
,所以
,
.
所以.
所以,
,
两两垂直,
以为原点,
,
,
所在直线分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
设平面的法向量
,则
,
取,得
,
平面的法向量
,
设二面角的平面角为
,显然
为锐角,故
,
所以二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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