题目内容
设两点在抛物线上,是的垂直平分线,(1)当且仅当取何值时,直线经过抛物线的焦点?证明你的结论;(2)当直线的斜率为时,求在轴上的截距的取值范围。
⑴当且仅当时,经过抛物线的焦点
⑵在轴上截距的取值范围为
⑵在轴上截距的取值范围为
(Ⅰ)两点到抛物线的准线的距离相等,
∵抛物线的准线是轴的平行线,,依题意不同时为0
∴上述条件等价于
∵
∴上述条件等价于
即当且仅当时,经过抛物线的焦点。
(Ⅱ)设在轴上的截距为,依题意得的方程为;过点的直线方程可写为,所以满足方程
得
为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式,即
设的中点的坐标为,则
,
由,得,于是
即得在轴上截距的取值范围为
∵抛物线的准线是轴的平行线,,依题意不同时为0
∴上述条件等价于
∵
∴上述条件等价于
即当且仅当时,经过抛物线的焦点。
(Ⅱ)设在轴上的截距为,依题意得的方程为;过点的直线方程可写为,所以满足方程
得
为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式,即
设的中点的坐标为,则
,
由,得,于是
即得在轴上截距的取值范围为
练习册系列答案
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