Question

【题目】设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且anSn+1﹣an+1Sn＝an+1﹣λan，对一切n∈N*都成立.

（1）当λ＝1时；

①求数列{an}的通项公式；

②若bn＝（n+1）an，求数列{bn}的前n项的和Tn；

（2）是否存在实数λ，使数列{an}是等差数列如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①an＝2n﹣1②Tn＝n2n（2）存在；λ＝0

【解析】

（1）化简得到，根据累乘法计算得到Sn+1+1＝2an+1，得到数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，得到答案，再利用错位相减法计算得到答案.

（2）要使数列{an}是等差数列，必须有2a2＝a1+a3，解得λ＝0，λ＝0，计算得到an＝1，得到答案.

（1）①当λ＝1时，anSn+1﹣an+1Sn＝an+1﹣an，则anSn+1+an＝an+1Sn+an+1，

即（Sn+1+1）an＝（Sn+1）an+1.

∵数列{an}的各项均为正数，∴.

∴，

化简，得Sn+1+1＝2an+1，①，∴当n≥2时，Sn+1＝2an，②

②﹣①，得an+1＝2an，

∵当n＝1时，a2＝2，∴n＝1时上式也成立，

∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，即an＝2n﹣1.

②由①知，bn＝（n+1）an＝（n+1）2n﹣1.

Tn＝b1+b2+…+bn＝21+321+…+（n+1）2n﹣1，

2Tn＝22+322+…+n2n﹣1+（n+1）2n，

两式相减，可得﹣Tn＝2+2+22+…+2n﹣1﹣（n+1）2n＝2（n+1）2n＝﹣n2n.

∴Tn＝n2n.

（2）由题意，令n＝1，得a2＝λ+1；令n＝2，得a3＝（λ+1）2.

要使数列{an}是等差数列，必须有2a2＝a1+a3，解得λ＝0.

当λ＝0时，Sn+1an＝（Sn+1）an+1，且a2＝a1＝1.

当n≥2时，Sn+1（Sn﹣Sn﹣1）＝（Sn+1）（Sn+1﹣Sn），

整理，得Sn2+Sn＝Sn+1Sn﹣1+Sn+1，即，

从而，

化简，得Sn+1＝Sn+1，即an+1＝1.

综上所述，可得an＝1，n∈N*.

∴λ＝0时，数列{an}是等差数列.