Question

【题目】四棱锥中， ，且平面， ， ， 是棱的中点.

（1）证明： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）取中点，连接、，四边形是平行四边形，通过证明面ACD,来证明平面。（2）取中点，过N点做BE的平行线为y轴，NB,NA分别为x,z轴建立空间直角坐标系，由空间向量求二面角的余弦值。

试题解析：（1）取中点，连接、，

∵是中点，∴，且.

又因为，∴.又∵，∴，∴四边形是平行四边形.∴，又，∴是等边三角形，∴，∵平面， ，∴平面，∴，∴平面，∴平面.

（2）取中点，则， 平面，以为原点建立如图所示的直角坐标系.

各点坐标为， ， ， ， ， .

可得， ， ， ；

设平面的法向量，则得，

取，

设平面的法向量，则得，

取，

于是 ，

注意到二面角是钝角，因此，所求二面角的余弦值就是.