题目内容

【题目】已知函数

(Ⅰ)当时,求函数的单调递减区间;

(Ⅱ)若时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围;

(Ⅲ)若数列满足 ,记的前项和为,求证: .

【答案】I;(II;(III证明见解析.

【解析】试题分析:(Ⅰ)求出,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间, 求得的范围,可得函数的减区间;(Ⅱ)当时,因为,所以显然不成立,先证明因此时, 上恒成立,再证明当时不满足题意,从而可得结果;(III)先求出等差数列的前项和为,结合(II)可得,各式相加即可得结论.

试题解析:)由,得.所以

,解得(舍去),所以函数的单调递减区间为 .

)由得,

时,因为,所以显然不成立,因此.

,则,令,得.

时, ,所以,即有.

因此时, 上恒成立.

时, 上为减函数,在上为增函数,

,不满足题意.

综上,不等式上恒成立时,实数的取值范围是.

III)证明:由知数列的等差数列,所以

所以

由()得, 上恒成立.

所以. 将以上各式左右两边分别相加,得

.因为

所以

所以.

型】解答
【/span>束】
22

【题目】已知直线, (为参数, 为倾斜角).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的直角坐标方程为.

(Ⅰ)将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程;

(Ⅱ)设点的直角坐标为,直线与曲线的交点为,求的取值范围.

【答案】I;(II.

【解析】试题分析:(Ⅰ)将由代入,化简即可得到曲线的极坐标方程;(Ⅱ)将的参数方程代入,得,根据直线参数方程的几何意义,利用韦达定理结合辅助角公式,由三角函数的有界性可得结果.

试题解析:(Ⅰ)由,得,即

所以曲线的极坐标方程为

II)将的参数方程代入,得

, 所以,又

所以,且,

所以,

,得,所以.

的取值范围是.

练习册系列答案
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【题目】甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员,日工资方案如下: 甲公司规定底薪80元,每销售一件产品提成1元; 乙公司规定底薪120元,日销售量不超过45件没有提成,超过45件的部分每件提成8元.

(I)请将两家公司各一名推销员的日工资 (单位: 元) 分别表示为日销售件数的函数关系式;

(II)从两家公司各随机选取一名推销员,对他们过去100天的销售情况进行统计,得到如下条形图。若记甲公司该推销员的日工资为,乙公司该推销员的日工资为 (单位: 元),将该频率视为概率,请回答下面问题:

某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作,如果仅从日均收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.

【答案】(I)见解析; (Ⅱ)见解析.

【解析】分析:(I)依题意可得甲公司一名推销员的工资与销售件数的关系是一次函数的关系式,而乙公司是分段函数的关系式,由此解得;(Ⅱ)分别根据条形图求得甲、乙公司一名推销员的日工资的分布列,从而可分别求得数学期望,进而可得结论.

详解:(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资 (单位:) 与销售件数的关系式为: .

乙公司一名推销员的日工资 (单位: ) 与销售件数的关系式为:

()记甲公司一名推销员的日工资为 (单位: ),由条形图可得的分布列为

122

124

126

128

130

0.2

0.4

0.2

0.1

0.1

记乙公司一名推销员的日工资为 (单位: ),由条形图可得的分布列为

120

128

144

160

0.2

0.3

0.4

0.1

∴仅从日均收入的角度考虑,我会选择去乙公司.

点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:

第一步是判断取值,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;

第二步是探求概率,即利用排列组合,枚举法,概率公式,求出随机变量取每个值时的概率;

第三步是写分布列,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;

第四步是求期望值,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值

型】解答
束】
19

【题目】如图,在四棱锥中,底面为菱形, 平面 分别是 的中点.

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(2)设为线段上的动点,若线段长的最小值为,求二面角的余弦值.

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