题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面平面, , , , , .
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若点在棱上,且平面,求线段的长.
【答案】(Ⅰ)见解析. (Ⅱ).(Ⅲ).
【解析】试题分析:第一问根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出线线垂直的结论,注意在书写的时候条件不要丢就行;第二问建立空间直角坐标系,利用法向量所成角的余弦值来求得二面角的余弦值;第三问利用向量共线的关系,得出向量的坐标,根据线面平行得出向量垂直,利用其数量积等于零,求得结果.
(Ⅰ)证明:因为平面⊥平面,
且平面平面,
因为⊥,且平面
所以⊥平面.
因为平面,
所以⊥.
(Ⅱ)解:在△中,因为, , ,
所以,所以⊥.
所以,建立空间直角坐标系,如图所示.
所以, , ,
, ,
, .
易知平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为,
则, 即,
令,则.
设二面角的平面角为,可知为锐角,
则,
即二面角的余弦值为.
(Ⅲ)解:因为点在棱,所以, .
因为,
所以, .
又因为平面, 为平面的一个法向量,
所以,即,所以.
所以,所以.
【题目】近年来郑州空气污染较为严重,现随机抽取一年(365天)内100天的空气中指数的监测数据,统计结果如下:
空气质量 | 优 | 良 | 轻微污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 中度重污染 | 重度污染 |
天数 | 4 | 13 | 18 | 30 | 9 | 11 | 15 |
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为(单位:元),指数为.当在区间内时对企业没有造成经济损失;当在区间内时对企业造成经济损失成直线模型(当指数为150时造成的经济损失为500元,当指数为200时,造成的经济损失为700元);当指数大于300时造成的经济损失为2000元.
(1)试写出的表达式;
(2)试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失大于500元且不超过900元的概率;
(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染,完成下面列联表,并判断是否有的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关?
附:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.32 | 2.07 | 2.70 | 3.74 | 5.02 | 6.63 | 7.87 | 10.828 |
,其中.
非重度污染 | 重度污染 | 合计 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合计 | 100 |
【题目】近年电子商务蓬勃发展, 年某网购平台“双”一天的销售业绩高达亿元人民币,平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为,对快递的满意率为,其中对商品和快递都满意的交易为次.
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”?
对快递满意 | 对快递不满意 | 合计 | |
对商品满意 | |||
对商品不满意 | |||
合计 |
(2)为进一步提高购物者的满意度,平台按分层抽样方法从中抽取次交易进行问卷调查,详细了解满意与否的具体原因,并在这次交易中再随机抽取次进行电话回访,听取购物者意见.求电话回访的次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率.
附: (其中为样本容量)