题目内容

【题目】如图,在四棱锥中,平面平面

)求证:

)求二面角的余弦值

(Ⅲ)若点在棱上,且平面求线段的长

【答案】见解析 .(

【解析】试题分析:第一问根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出线线垂直的结论,注意在书写的时候条件不要丢就行;第二问建立空间直角坐标系,利用法向量所成角的余弦值来求得二面角的余弦值;第三问利用向量共线的关系,得出向量的坐标,根据线面平行得出向量垂直,利用其数量积等于零,求得结果.

证明:因为平面⊥平面

且平面平面

因为,且平面

所以平面

因为平面

所以

解:在中,因为

所以,所以

所以,建立空间直角坐标系,如图所示

所以

易知平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为

, 即

设二面角的平面角为,可知为锐角

即二面角的余弦值为

(Ⅲ)解:因为点在棱所以

因为

所以

又因为平面 为平面的一个法向量

所以,所以

所以所以

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