题目内容

【题目】已知抛物线的焦点为曲线的一个焦点, 为坐标原点,点为抛物线上任意一点,过点轴的平行线交抛物线的准线于,直线交抛物线于点.

(Ⅰ)求抛物线的方程;

(Ⅱ)若三个点满足,求直线的方程.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .

【解析】试题分析: 求出曲线的焦点,即可算出抛物线方程设直线的方程为,联立直线与抛物线方程,得,再结合,算出结果

解析:(Ⅰ)解由曲线,可得,所以曲线是焦点在轴上的双曲线,其中,故的焦点坐标分别为,因为抛物线的焦点坐标为,由题意知,得,所抛物线的方程为

(Ⅱ)设直线的方程为,联立直线与抛物线的方程得,消去

,设,由根与系数的关系得

因为,故,得,由

解得,代入,解得

的方程为,化简得

另解:如图,由,可设,则

,因为,所以

解得, ,所以,在中,

,即为直线的斜率),所以

直线的方程为,即,由于对称性知另一条直线的方程为.

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