题目内容
【题目】已知函数,
是
的导函数,
.
(1)当时,判断函数
在
上是否存在零点,并说明理由;
(2)若在
上存在最小值,求
的取值范围.
【答案】(1)不存在零点,理由见解析;(2)
【解析】
(1)当时,得
,对
求导,从而得单调性,即可判断零点;
(2)求出的导函数,结合
,
讨论
的单调性,看
是否存在最值即可得到答案.
(1)时,
.
令,即
,
,得
,
当变化时,
,
变化如下:
- | 0 | + | |
减 | 最小值 | 增 |
∴函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
∴的极小值为
.∴函数
在
上不存在零点.
(2)因为,所以
,
令,则
.
①当时,
,即
,
∴在
单调递增,
∴时,
,
∴在
单调递增,∴
在
不存在最小值,
②当时,
,
所以,即
在
内有唯一解
,
当时,
,当
时,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
所以,又因为
,
所以在
内有唯一零点
,
当时,
即
,
当时,
即
,所以
在
上单调递减,在
上单调递增.
所以函数在
处取得最小值,
即时,函数
在
上存在最小值.
综上所述,在
上存在最小值时,
的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某市《城市总体规划(年)》提出到
年实现“
分钟社区生活圈”全覆盖的目标,从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身
个方面构建“
分钟社区生活圈”指标体系,并依据“
分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为:优质小区(指数为
)、良好小区(指数为
)、中等小区(指数为
)以及待改进小区(指数为
)
个等级.下面是三个小区
个方面指标的调查数据:
注:每个小区“分钟社区生活圈”指数
,其中
、
、
、
为该小区四个方面的权重,
、
、
、
为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为
之间的一个数值).
现有个小区的“
分钟社区生活圈”指数数据,整理得到如下频数分布表:
分组 | |||||
频数 |
(Ⅰ)分别判断、
、
三个小区是否是优质小区,并说明理由;
(Ⅱ)对这个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样,抽取
个小区进行调查,若在抽取的
个小区中再随机地选取
个小区做深入调查,记这
个小区中为优质小区的个数
,求
的分布列及数学期望.