题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)设,当
时,对任意
,存在
,使得
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,单调减区间是
,单调增区间是
,
;当
时,单调增区间是
,没有单调减区间;(2)
.
【解析】
(1)先求函数的定义域,利用函数的导函数,得
或
,当
时,分
,
讨论即可得到答案;
(2)当时,由(1)知
在
上单调递减,在
上单调递增,
从而在
上的最小值为
,由题意得
,即
,令
,求新函数
的最大值即可得实数
的取值范围.
(1)函数的定义域为
,
,
由,得
或
.
当即
时,由
得
,
由得
或
;
当即
时,当
时都有
;
当
时,单调减区间是
,单调增区间是
,
;
当时,单调增区间是
,没有单调减区间.
(2)当时,由(1)知
在
上单调递减,在
上单调递增,
从而在
上的最小值为
.
对任意,存在
,使得
,
即存在,使
的值不超过
在区间
上的最小值
.
由,
.
令,则当
时,
.
,
当时
;当
时,
,
.
故在
上单调递减,
从而,
从而.
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