Question

【题目】如图，在正四棱柱中，，，建立如图所示的空间直角坐标系.

（1）若，求异面直线与所成角的大小；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；

（3）若二面角的大小为，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）异面直线与所成角为；（2）与平面所成角的正弦值为；（3）二面角的大小为，的值为.

【解析】分析：（1）由题意可得和的坐标，可得夹角的余弦值；

（2）求出平面的法向量，即可求出答案；

（3）设，表示出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角的大小为，即可求出t.

详解：（1）当时，，，，，，

则，

，

故，

所以异面直线与所成角为．

（2）当时，，，，，，

则，，

设平面的法向量，

则由得，

不妨取，则， 此时，

设与平面所成角为，因为，

则，

所以与平面所成角的正弦值为．

（3）由得，，，

设平面的法向量，

则由得，

不妨取，则， 此时，

又平面的法向量，

故，解得，

由图形得二面角大于，所以符合题意．

所以二面角的大小为，的值为．