Question

11．抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，\;b＞0）$交于A，B两点，C₁与C₂的两条渐近线分别交于异于原点的两点C，D，且AB，CD分别过C₂，C₁的焦点，则$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根据CD过C₁的焦点，可得b=2a，根据AB过C₂的焦点，可得A的坐标，结合A（c，4a）在C₁上，求出a，p的关系，即可得出结论．

解答 解：由题意，CD过C₁的焦点，根据$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，得x_C=$\frac{p}{2}$，∴b=2a；
由AB过C₂的焦点，得A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），即A（c，4a），
∵A（c，4a）在C₁上，
∴16a²=2pc，
又c=$\sqrt{5}$a，
∴a=$\frac{\sqrt{5}p}{8}$，
∴$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{4a}{p}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线、抛物线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．