题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数).
(1)求的单调区间;
(2)是否存在正实数使得
,若存在求出
,否则说明理由;
(3)若存在不等实数,
,使得
,证明:
.
【答案】(1)单调递减区间是,单调递增区间为
.(2)不存在(3)详见解析
【解析】
试题分析:(1)先求导数,再求导函数符号确定单调区间:单调递减区间是
,单调递增区间为
.(2)构造函数
,
,确定其是否有零点即可,先求导
,确定
为
上的增函数,因此
,无零点(3)为研究方便不妨设
,
,则需证明
,构造函数
,可证
在
上单调增,即
,因此
,而
在
上递减,即
试题解析:解:(1)函数的单调递减区间是
,单调递增区间为
.
(2)不存在正实数使得
成立,
事实上,由(1)知函数在
上递增,
而当,有
,在
上递减,有
,
因此,若存在正实数使得
,必有
.
令,
令,因为
,所以
,所以
为
上的增函数,所以
,即
,
故不存在正实数使得
成立.
(3)若存在不等实数,
,使得
,则
和
中,必有一个在
,另一个在
,不妨设
,
.
①若,则
,由(1)知:函数
在
上单调递减,所以
;
②若,由(2)知:当
,则有
,
而,所以
,即
,
而,
,由(1)知:函数
在
上单调递减,
∴,即有
,
由(1)知:函数在
上单调递减,所以
;
综合①,②得:若存在不等实数,
,使得
,则总有
.
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