题目内容
【题目】在四棱锥中,底面
是矩形,
平面
,
,
,以
的中点
为球心、
为直径的球面交
于点
,交
于点
.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成的角的大小;
(3)求点到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)由题设得知,再证明
平面
,可得出
,然后利用直线与平面垂直的判定定理可得出
平面
;
(2)先利用等体积法计算出点到平面
的距离
,然后利用
作为直线
与平面
所成的角的正弦值,即可得出直线
与平面
所成的角的大小;
(3)先根据条件分析出所求距离为点到平面
距离的
,可得出点
到平面
的距离为
,再利用第二问的结论即可得出答案.
(1)以
为直径的球面交
于点
,则
,
平面
,
平面
,
,
四边形
为矩形,
.
,
平面
,
平面
,
.
,
平面
;
(2)由(1)知,平面
,
平面
,
,
又,则
为
的中点,且
,
.
的面积为
.
的面积为
,
为
的中点,所以,
,
设点到平面
的距离为
,由
,得
,
.
设直线与平面
所成角的大小为
,则
.
因此,直线与平面
所成角的大小为
;
(3)平面
,
平面
,
,
,
,
,且
,则
,
得,
,
故点到平面
的距离是点
到平面
的距离的
.
又是
的中点,则
、
到平面
的距离相等,
由(2)可知所求距离为.
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