题目内容
【题目】某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计．其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人．
（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：
对教师管理水平好评 | 对教师管理水平不满意 | 合计 | |
对教师教学水平好评 | |||
对教师教学水平不满意 | |||
合计 |
问：是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、
（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X；
①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求X的数学期望和方差．
P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（K2= 
，其中n=a+b+c+d）
【答案】
（1）解：由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：
对教师管理水平好评 | 对教师管理水平不满意 | 合计 | |
对教师教学水平好评 | 120 | 60 | 180 |
对教师教学水平不满意 | 105 | 15 | 120 |
合计 | 225 | 75 | 300 |
，
∴可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关；
（2）解：①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为 
，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，其中 
； 
； 
； 
； 
，
X 的分布列为：
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
|
|
|
|
|
②由于X～B（4， ），则 
， 
．
br />【解析】（1）根据题意，可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表，计算K2 ， 验证K2是否大于10.828，即可得出结论；（2）①分别求出X所有可能取值的概率，得出X的分布列；②由于X～B（4， ），即可计算数学期望和方差．
【考点精析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．
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