题目内容
【题目】已知函数
的定义域为
，若
在上为增函数，则称为“一阶比增函数”.
（1）若
是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围。
（2）若是“一阶比增函数”，求证：对任意
，
，总有
；
（3）若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：关于x的不等式
有解.
【答案】（1）
；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
（1）由题意得
在
是增函数，由一次函数性质；（2）由
，可得
，
，两式相加化简即可得结果；（3）取
，满足
，记
，由（2）知
，同理
，
所以一定存在
，使得
.
（1）由题意得在是增函数.
由一次函数性质知：当时，
在（
）上是增函数，
（2）
是“一阶比增函数”，即
在上是增函数，又
，有，
，，
，
，
（3）设
，其中
，因为是“一阶比增函数”，所以当
时，
.取，满足，记，由（II）知，
同理，
所以一定存在，使得，
所以
一定有解.
【题目】某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计．其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人．
（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：
对教师管理水平好评 | 对教师管理水平不满意 | 合计 | |
对教师教学水平好评 | |||
对教师教学水平不满意 | |||
合计 |
问：是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、
（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X；
①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求X的数学期望和方差．
P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（K2= 
，其中n=a+b+c+d）
