Question

【题目】已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：

f1（x）=min{f（t）| a≤t≤x}（x∈[a，b]），

f2（x）=max{f（t）| a≤t≤x}（x∈[a，b]）。

其中，min{f（x）| x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值。若存在最小正整数k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”。

（1）若f（x）=sinx，x∈[， ]，请直接写出f1（x），f2（x）的表达式；

（2）已知函数f（x）=（x-1）2，x∈[-1，4]，试判断f（x）是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1) f1（x）=-1，x [-， ]；f2（x）=sinx，x [-， ] (2) 存在k=4

【解析】试题分析: （1）由题意可得：f1（x）=-1，x [-， ]；f2（x）=sinx，x [-， ]; （2）由函数f（x）=（x-1）2，x∈[-1，4],写出f1（x）和f2（x）的解析式,根据f2（x）-f1（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，分段列出不等式,求出函数最值代入,可得k的取值范围,即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4阶收缩函数.

试题解析:

（1）由题意可得：f1（x）=-1，x [-， ]；f2（x）=sinx，x [-， ].

（2）f1（x）=f2（x）=

f2（x）-f1（x）=

当x∈[-1，1）时，3+2x-x2≤k（x+1），所以k≥3-x，所以k≥4；

当x∈[1，3）时，4≤k（x+1），所以k≥，所以k≥2；

当x∈[3，4]时，（x-1）2≤k（x+1），所以k≥，所以k≥.

综上所述，k≥4，即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4阶收缩函数。