Question

18．设函数f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$（a≠0）．
（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x．
（3）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到f′（1），由f′（1）=2-3a求得实数a的值；
（2）a=1时，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，定义域是x＞0，设F（x）=f（x）-（3-x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-3，由F（x）_min=F（1）=0，能够证明f（x）≥3-x；
（3）求出原函数的导函数，对a＞0、a＜0分类求出原函数的单调期间．

解答 （1）解：由f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$，得${f}^{′}（x）=\frac{a}{x}-\frac{2{a}^{2}}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=a-2a²=2-3a，解得：a=1；
（2）证明：当a=1时，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，定义域是x＞0，
设F（x）=f（x）-（3-x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-3，
由F′（x）=$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=0，得x²+x-2=0，解得x=1，x=-2（舍去）．
当F′（x）＞0时，x＞1；当F′（x）=0时，x=1；当F′（x）＜0时，x＞1．
∴F（x）_min=F（1）=0+1+2-3=0，
∴F（x）≥0，则f（x）≥3-x；
（3）解：∵f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$（a≠0），
∴${f}^{′}（x）=\frac{a}{x}-\frac{2{a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{a（x-2a）}{{x}^{2}}$，
①当a＞0时，由f′（x）＞0得，x＞2a；由f′（x）＜0得，x＜2a．
∴f（x）的增区间是（2a，+∞），减区间是（0，2a）．
②当a＜0时，f′（x）＜0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递减．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查函数的单调性的讨论，训练了利用导数求函数的最值，分类讨论与合理转化是解答此题的关键，是中档题．