题目内容
已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N +),其中xn为正实数.
(1)用xn表示xn+1;
(2)若x1=4,记an=lg,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;
(3)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3.
(1)用xn表示xn+1;
(2)若x1=4,记an=lg,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;
(3)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3.
(1);(2);(3)详见解析.
试题分析:(1)由题设条件知曲线y=f(x)在点处的切线方程是.由此可知.所以.(2)由,知,同理.故.由此入手能够导出.(3)由题设知,所以,由此可知.
解:(1)由题可得.
所以曲线在点处的切线方程是:.
即.
令,得.
即.显然,
∴.
(2)由,知,’同理.----6’
故.-----7’
从而,即.所以,数列成等比数列.---8’
故.即.----9’
从而,所以.----10’
(3)由(Ⅱ)知,∴
∴ ---11’
当时,显然.-------12’
当时,-----13’
∴.综上,.
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